05 如何用向量和坐标系描述点和线段？

你好，我是月影。

为什么你做了很多可视化项目，解决了一个、两个、三个甚至多个不同类型的图表展现之后，还是不能系统地提升自己的能力，在下次面对新的项目时依然会有各种难以克服的困难？这是因为你陷入了细节里。

什么是细节？简单来说，细节就是各种纯粹的图形学问题。在可视化项目里，我们需要描述很多的图形，而描述图形的顶点、边、线、面、体和其他各种信息有很多不同的方法。并且，如果我们使用不同的绘图系统，每个绘图系统又可能有独特的方式或者特定的API，去解决某个或某类具体的问题。

正因为有了太多可以选择的工具，我们也就很难找到最恰当的那一个。而且如果我们手中只有解决具体问题的工具，没有统一的方法论，那我们也无法一劳永逸地解决问题的根本。

因此，我们要建立一套与各个图形系统无关联的、简单的基于向量和矩阵运算的数学体系，用它来描述所有的几何图形信息。这就是我在数学篇想要和你讨论的主要问题，也就是如何建立一套描述几何图形信息的数学体系，以及如何用这个体系来解决我们的可视化图形呈现的问题。

那这一节课，我们先学习用坐标系与向量来描述基本图形的方法，从如何定义和变换图形的直角坐标系，以及如何运用向量表示点和线段这两方面讲起。

坐标系与坐标映射

首先，我们来看看浏览器的四个图形系统通用的坐标系分别是什么样的。

HTML采用的是窗口坐标系，以参考对象（参考对象通常是最接近图形元素的position非static的元素）的元素盒子左上角为坐标原点，x轴向右，y轴向下，坐标值对应像素值。

SVG采用的是视区盒子（viewBox）坐标系。这个坐标系在默认情况下，是以svg根元素左上角为坐标原点，x轴向右，y轴向下，svg根元素右下角坐标为它的像素宽高值。如果我们设置了viewBox属性，那么svg根元素左上角为viewBox的前两个值，右下角为viewBox的后两个值。

Canvas采用的坐标系我们比较熟悉了，它默认以画布左上角为坐标原点，右下角坐标值为Canvas的画布宽高值。

WebGL的坐标系比较特殊，是一个三维坐标系。它默认以画布正中间为坐标原点，x轴朝右，y轴朝上，z轴朝外，x轴、y轴在画布中范围是-1到1。

尽管这四个坐标系在原点位置、坐标轴方向、坐标范围上有所区别，但都是直角坐标系，所以它们都满足直角坐标系的特性：不管原点和轴的方向怎么变，用同样的方法绘制几何图形，它们的形状和相对位置都不变。

为了方便处理图形，我们经常需要对坐标系进行转换。转换坐标系可以说是一个非常基础且重要的操作了。正因为这四个坐标系都是直角坐标系，所以它们可以很方便地相互转化。其中，HTML、SVG和Canvas都提供了transform的API能够帮助我们很方便地转换坐标系。而WebGL本身不提供tranform的API，但我们可以在shader里做矩阵运算来实现坐标转换，WebGL的问题我们在后续课程会有专门讨论，今天我们先来说说其他三种。那接下来我们就以Canvas为例，来看看用transform API怎样进行坐标转换。

如何用Canvas实现坐标系转换？

假设，我们要在宽512 * 高256的一个Canvas画布上实现如下的视觉效果。其中，山的高度是100，底边200，两座山的中心位置到中线的距离都是80，太阳的圆心高度是150。

当然，在不转换坐标系的情况下，我们也可以把图形绘制出来，但是要经过顶点换算，下面我们就来说一说这个过程。

首先，因为Canvas坐标系默认的原点是左上角，底边的y坐标是256，而山的高度是100，所以山顶点的y坐标是256 - 100 = 156。而因为太阳的高度是150，所以太阳圆心的y坐标是256 - 150 = 106。

然后，因为x轴中点的坐标是512 / 2 = 256，所以两座山顶点的x坐标分别是256 - 80和256 + 80，也就是176和336。又因为山是等腰三角形，它的底边是200，所以两座山底边的x坐标计算出来，分别是 76、276、236、436（176 - 100 =76、176 + 100=276、336 - 100=236、 336 + 100=436）。

计算出这些坐标之后，我们很容易就可以将这个图画出来了。不过，为了增加一些趣味性，我们用一个Rough.js的库，绘制一个手绘风格的图像（Rough.js库的API和Canvas差不多，绘制出来的图形比较有趣）。绘制的代码如下所示：

const rc = rough.canvas(document.querySelector('canvas'));
const hillOpts = {roughness: 2.8, strokeWidth: 2, fill: 'blue'};
rc.path('M76 256L176 156L276 256', hillOpts);
rc.path('M236 256L336 156L436 256', hillOpts);
rc.circle(256, 106, 105, {
  stroke: 'red',
  strokeWidth: 4,
  fill: 'rgba(255, 255, 0, 0.4)',
  fillStyle: 'solid',
});

最终，我们绘制出的图形效果如下所示：

到这里，我们通过简单的计算就绘制出了这一组图形。但你也能够想到，如果每次绘制都要花费时间在坐标换算上，这会非常不方便。所以，为了解决这个问题，我们可以采用坐标系变换来代替坐标换算。

这里，我们给Canvas的2D上下文设置一下transform变换。我们经常会用到两个变换：translate和scale。

首先，我们通过translate变换将Canvas画布的坐标原点，从左上角(0, 0)点移动至(256, 256)位置，即画布的底边上的中点位置。接着，以移动了原点后新的坐标为参照，通过scale(1, -1)将y轴向下的部分，即y>0的部分沿x轴翻转180度，这样坐标系就变成以画布底边中点为原点，x轴向右，y轴向上的坐标系了。

执行了这个坐标变换，也就是让坐标系原点在中间之后，我们就可以更方便、直观地计算出几个图形元素的坐标了。

两个山顶的坐标就是 (-80, 100) 和 (80, 100)，山脚的坐标就是 (-180, 0)、(20, 0)、(-20, 0)、(180, 0)，太阳的中心点的坐标就是(0, 150)。那么更改后的代码如下所示。

const rc = rough.canvas(document.querySelector('canvas'));
const ctx = rc.ctx;
ctx.translate(256, 256);
ctx.scale(1, -1);

const hillOpts = {roughness: 2.8, strokeWidth: 2, fill: 'blue'};

rc.path('M-180 0L-80 100L20 0', hillOpts);
rc.path('M-20 0L80 100L180 0', hillOpts);

rc.circle(0, 150, 105, {
  stroke: 'red',
  strokeWidth: 4,
  fill: 'rgba(255,255, 0, 0.4)',
  fillStyle: 'solid',
});

好了，现在我们就完成了坐标变换。但是因为这个例子要绘制的图形很少，所以还不太能体现使用坐标系变换的好处。不过，你可以想一下，在可视化的许多应用场景中，我们都要处理成百上千的图形。如果这个时候，我们在原始坐标下通过计算顶点来绘制图形，计算量会非常大，很麻烦。那采用坐标变换的方式就是一个很好的优化思路，它能够简化计算量，这不仅让代码更容易理解，也可以节省CPU运算的时间。

理解直角坐标系的坐标变换之后，我们再来说说直角坐标系里绘制图形的方法。那不管我们用什么绘图系统绘制图形，一般的几何图形都是由点、线段和面构成。其中，点和线段是基础的图元信息，因此，如何描述它们是绘图的关键。

如何用向量来描述点和线段？

那在直角坐标系下，我们是怎么表示点和线段的呢？我们一般是用向量来表示一个点或者一个线段。

前面的例子因为包含x、y两个坐标轴，所以它们构成了一个绘图的平面。因此，我们可以用二维向量来表示这个平面上的点和线段。二维向量其实就是一个包含了两个数值的数组，一个是x坐标值，一个是y坐标值。

假设，现在这个平面直角坐标系上有一个向量v。向量v有两个含义：一是可以表示该坐标系下位于(x, y)处的一个点；二是可以表示从原点(0,0)到坐标(x,y)的一根线段。

接下来，为了方便你理解，我们先来回顾一下关于向量的数学知识。

首先，向量和标量一样可以进行数学运算。举个例子，现在有两个向量，v1和v2，如果让它们相加，其结果相当于将v1向量的终点（x1, y1），沿着v2向量的方向移动一段距离，这段距离等于v2向量的长度。这样，我们就可以在平面上得到一个新的点（x1 + x2, y1 + y2），一条新的线段[(0, 0), (x1 + x2, y1 + y2)]，以及一段折线：[(0, 0), (x1, y1) , (x1 + x2, y1 + y2)]。

其次，一个向量包含有长度和方向信息。它的长度可以用向量的x、y的平方和的平方根来表示，如果用JavaScript来计算，就是：

v.length = function(){return Math.hypot(this.x, this.y)};

它的方向可以用与x轴的夹角来表示，即：

v.dir = function() { return Math.atan2(this.y, this.x);}

在上面的代码里，Math.atan2的取值范围是-π到π，负数表示在x轴下方，正数表示在x轴上方。

最后，根据长度和方向的定义，我们还能推导出一组关系式：

v.x = v.length * Math.cos(v.dir);
v.y = v.length * Math.sin(v.dir);

这个推论意味着一个重要的事实：我们可以很简单地构造出一个绘图向量。也就是说，如果我们希望以点(x0, y0)为起点，沿着某个方向画一段长度为length的线段，我们只需要构造出如下的一个向量就可以了。

这里的α是与x轴的夹角，v是一个单位向量，它的长度为1。然后我们把向量(x0, y0)与这个向量v1相加，得到的就是这条线段的终点。这么讲还是比较抽象，我们看一个例子。

实战演练：用向量绘制一棵树

我们用前面学到的向量知识来绘制一棵随机生成的树，想要生成的效果如下：

我们还是用Canvas2D来绘制。首先是坐标变换，原理前面讲过，我就不细说了。这里，我们要做的变换是将坐标原点从左上角移动到左下角，并且让y轴翻转为向上。

ctx.translate(0, canvas.height);
ctx.scale(1, -1);
ctx.lineCap = 'round';

然后，我们定义一个画树枝的函数 drawBranch。

function drawBranch(context, v0, length, thickness, dir, bias) {
  ...
}

这个函数有六个参数：

context是我们的Canvas2D上下文
v0是起始向量
length是当前树枝的长度
thickness是当前树枝的粗细
dir是当前树枝的方向，用与x轴的夹角表示，单位是弧度。
bias是一个随机偏向因子，用来让树枝的朝向有一定的随机性

因为v0是树枝的起点坐标，那根据前面向量计算的原理，我们创建一个单位向量(1, 0)，它是一个朝向x轴，长度为1的向量。然后我们旋转dir弧度，再乘以树枝长度length。这样，我们就能计算出树枝的终点坐标了。代码如下：

 const v = new Vector2D(1, 0).rotate(dir).scale(length);
 const v1 = v0.copy().add(v);

向量的旋转是向量的一种常见操作，对于二维空间来说，向量的旋转可以定义成如下方法（这里我们省略了数学推导过程，有兴趣的同学可以去看一下数学原理）。这个方法我们后面还会经常用到，你先记一下，后续我们讲到仿射变换的时候，会有更详细的解释。

class Vector2D {
  ...  
  rotate(rad) {
    const c = Math.cos(rad),
      s = Math.sin(rad);
    const [x, y] = this;

    this.x = x * c + y * -s;
    this.y = x * s + y * c;

    return this;
  }
}

我们可以从一个起始角度开始递归地旋转树枝，每次将树枝分叉成左右两个分枝：

  if(thickness > 2) {
    const left = dir + 0.2;
    drawBranch(context, v1, length * 0.9, thickness * 0.8, left, bias * 0.9);
    const right = dir - 0.2;
    drawBranch(context, v1, length * 0.9, thickness * 0.8, right, bias * 0.9);
  }

这样，我们得到的就是一棵形状规律的树。

接着我们修改代码，加入随机因子，让迭代生成的新树枝有一个随机的偏转角度。

  if(thickness > 2) {
    const left = Math.PI / 4 + 0.5 * (dir + 0.2) + bias * (Math.random() - 0.5);
    drawBranch(context, v1, length * 0.9, thickness * 0.8, left, bias * 0.9);
    const right = Math.PI / 4 + 0.5 * (dir - 0.2) + bias * (Math.random() - 0.5);
    drawBranch(context, v1, length * 0.9, thickness * 0.8, right, bias * 0.9);
  }

这样，我们就可以得到一棵随机的树。

最后，为了美观，我们再随机绘制一些花瓣上去，你也可以尝试绘制其他的图案到这棵树上。

  if(thickness < 5 && Math.random() < 0.3) {
    context.save();
    context.strokeStyle = '#c72c35';
    const th = Math.random() * 6 + 3;
    context.lineWidth = th;
    context.beginPath();
    context.moveTo(...v1);
    context.lineTo(v1.x, v1.y - 2);
    context.stroke();
    context.restore();
  }

这样，我们就实现了绘制一棵随机树的方法。

它的完整代码在GitHub仓库，你可以研究一下。这里面最关键的一步就是前面的向量操作，为了实现向量的rotate、scale、add等方法，我封装了一个简单的库Vector2d.js，你也可以在代码仓库中找到它。

向量运算的意义

实际上，在我们的可视化项目里，直接使用向量的加法、旋转和乘法来构造线段绘制图形的情形并不多。这是因为，在一般情况下，数据在传给前端的时候就已经计算好了，我们只需要拿到数据点的信息，根据坐标变换进行映射，然后直接用映射后的点来绘制图形即可。

既然这样，为什么我们在这里又要强调向量操作的重要性呢？虽然我们很少直接使用向量构造线段来完成绘图，但是向量运算的意义并不仅仅只是用来算点的位置和构造线段，这只是最初级的用法。我们要记住，可视化呈现依赖于计算机图形学，而向量运算是整个计算机图形学的数学基础。

而且，在向量运算中，除了加法表示移动点和绘制线段外，向量的点乘、叉乘运算也有特殊的意义。课后我会给你出一道有挑战性的思考题，让你能更深入地理解向量运算的现实意义，在下一节课里我会给你答案。

要点总结

这一节课，我们以Canvas为例学习了坐标变换，以及用向量描述点和线段的原理和方法。

一般来说，采用平面直角坐标系绘图的时候，对坐标进行平移等线性变换，并不会改变坐标系中图形的基本形状和相对位置，因此我们可以利用坐标变换让我们的绘图变得更加容易。Canvas坐标变换经常会用到translate和scale这两个变换，它们的操作和原理都很简单，我们根据实际需求来设置就好了。

在平面直角坐标系中，我们可以定义向量来绘图。向量可以表示绘图空间中的一个点，或者连接原点的一条线段。两个向量相加，结果相当于将被加向量的终点沿着加数向量的方向移动一段距离，移动的距离等于加数向量的长度。利用向量的这个特性，我们就能以某个点为起点，朝任意方向绘制线段，从而绘制各种较复杂的几何图形了。

小试牛刀

我们已经知道如何用向量来定义一个线段，你知道如何判断两个线段的位置关系吗？假设有两个线段l1和l2，已知它们的起点和终点分别是[(x10, y10),(x11, y11)]、[(x20, y20),(x21, y21)]，你能判断它们的关系吗（小提示：两个线段之间的关系有平行、垂直或既不平行又不垂直）？
已知线段[(x0, y0)、(x1, y1)]，以及一个点(x2, y2)，怎么求点到线段的距离？
一个平面上放置了一个扫描器，方向延y轴方向（该坐标系y轴向上），扫描器的视角是60度。假设它可以扫描到无限远的地方，那对于平面上给定的任意一个点(x,y)，我们该如何判断这个点是否处于扫描范围内呢？

欢迎在留言区和我讨论，分享你的答案和思考，也欢迎你把这节课分享给你的朋友，我们下节课见！

源码

[1]绘制随机树的源代码
[2]坐标变换的源代码